吴军老师说，他所讲的这些内容，其实就是他一直以来工作的沉淀。

吴军老师，是美国约翰霍普金斯大学的计算机博士，后来在谷歌担任智能搜索科学家。

他所研究的内容是语音识别和自然语言处理，这需要有非常深厚的信息论、信息技术、通信技术、以及数学功底。

而他的课程内容，就来自于这些积累。

差别在于，做成课程需要用更通俗的方式，把那些晦涩的专业知识讲出来，让每一个人都能够听得懂。

这一次的新课，吴军老师选择了数学。

为什么要选择讲数学呢？

数学这个主题，是很多老师（比如我，虽然我大学的专业就是数学…）想讲，但是不敢讲的。

为什么？

因为，它太难了。

而且，数学这两个字，简直是很多人的噩梦。

甚至，有小朋友在报考大学专业的时候说，只要不学数学，让我干什么都可以！

确实，数学很难。

很多人学了十几年数学，走上工作岗位，根本不知道数学到底有什么用。

除了相关专业的工程师，现在有几个人，还记得大学学过的微积分、概率、和线性代数？

那么学数学到底有什么用？

作为一个普通人，也要学数学吗？

吴军老师说，是的，每一个人，都一定要学数学，因为它实在太有用了。

学数学，对大部分人来说，不是为了解数学题，不是为了当数学家，而是为了培养数学思维。

数学思维，不仅能让你登上更高的高度，开拓你的眼界，也能够帮你建立一些正确的常识，让你少走弯路，并且让你在人生的每一个岔路口，有更多更多的选择。

今天我能够给企业做战略咨询，能够快速洞察一件事物的本质，其实，最最根本的能力，就来自于数学思维。

可是，数学也太难了，我学不会怎么办？

解数学题也许很难，数学考试拿满分也许很难，但是，只要你愿意，培养自己的数学思维其实并不难。

哦？那具体来说，数学思维包括哪些呢？

我给你介绍5种。

这5种数学思维，让吴军老师，包括我自己都特别受益。

— 2 —

第一种数学思维，源自于概率论，叫做从不确定性中找到确定性。

什么意思？

假如一件事情成功的概率是20%，是不是就意味着，我重复做这件事5次，就一定能成功呢？

很多人会这样想，但事实并不是这样。

如果我们把95%的概率定义为成功，那么这件20%成功概率的事，你需要重复做14次。

换句话说，你只要把这件20%成功概率的事，重复做14次，你就有95%的概率能做成。

如果你要达到99%的成功概率，那么你需要重复做21次。

那想达到100%的成功概率呢？

对不起，这个世界上没有100%的概率，所有人想要做成事，都需要一点点运气。

我们经常说，正确的事情，要重复做。

它其实就是概率论的自然语言表述。

所谓正确的事情，其实指的就是大概率能成功的事情。

而所谓的重复，学会了概率论，我们就对重复这件事有了定量的理解。

20%的成功概率，在商业世界中，已经不算小了，只要重复做14次，你的成功概率就能达到95%。

理解了这件事情，你就会知道，创业一次成功的概率太小，所以你在融资的时候，就不能只融资一次的预算，你需要更多更多次的预算。

相对应地，很多人都想过，假如我在一个领域成功的概率是1%，那么我找到20个领域来做，是不是跟一个领域20%的效果是一样的？

如果我们依然把95%定为成功的标准，那么1%成功概率的事情，你需要重复做298次。

而这，还只是一个领域。

这就像很多人会问，我是成为一个全才，把20个领域都试个遍，更容易成功？

还是成为一个专才，在一个领域深耕，更容易成功呢？

概率论会告诉你，成为一个专才，成功的可能性更大。

理解了这件事情，你就会明白，创业要专注，不要做太多事，做太多事，你本来20%的概率就只剩1%了，你成功的概率就会更小。

你看，虽然这个世界上没有100%的概率，但是只要重复做大概率成功的事情，你成功的概率就能够接近100%。

这就叫从不确定性中找到确定性。

这是概率论教会我们最重要的思维。

我们学习概率论，不是为了去算题，而是要理解这种思考方法，在做人生选择的时候，就能选对那条大概率成功的道路。

— 3 —

第二种数学思维，源自于微积分，叫做用动态的眼光看问题。

很多人一听说微积分，想到那些复杂的微分方程、积分方程，就头疼。

别怕。

我们今天不谈方程，只谈微积分的思维方式。

微积分的思维方式其实特别简单，也正因为简单到极致，所以非常漂亮。

微积分是牛顿发明的。他为什么要发明微积分呢？

是为了虐死后世的我们吗？

当然不是。

其实在牛顿以前，人们对速度这些变量的了解，仅限于平均值的层面。

比如，我知道一段距离的长短，和走完这段距离的时间，就可以算出一个平均速度。

但是，每个瞬间的速度，我是不了解的。

于是，牛顿就发明了微分，用无穷小这种概念来帮助我们把握瞬间的规律。

而积分跟微分正好相反，它反应的是瞬间变量的积累效应。

那么，到底什么是微积分？

我举个简单的例子。

一个物体静止不动，你推它一把，会瞬间产生一个加速度。

但有了加速度，并不会瞬间产生速度。

加速度累积一段时间，才会有速度。

而有了速度，并不会瞬间产生位移。

速度累积一段时间，才会有位移。

宏观上，我们看到的是位移，但是从最微观的角度来看，其实是从加速度开始的。

加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。

这，就是积分。

反过来说，物体之所以会有位移，是因为速度在一段时间的累积。

而物体之所以会有速度，是因为加速度在一段时间的累积。

位移（相对于时间）的一阶导数，是速度。

而速度（相对于时间）的一阶导数，是加速度。

宏观上，我们看到的是位移，但是从微观上来看，其实是每一个瞬间速度的累积。

而位移的导数，就是从宏观回到微观，去观察它“瞬间”的速度。

这，就是微分。

那么，微积分对我们的日常生活到底有什么用呢？

理解了微积分，你看问题的眼光，就会从静态变为动态。

什么意思？

加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。

其实人也是一样。

你今天晚上努力学习了，但是一晚上的努力，并不会直接变成你的能力。

你的努力，得累积一段时间，才会变成你的能力。

而你有了能力，并不会马上做出成绩。

你的能力，得累积一段时间，才会变成你的成绩。

而你有了一次成绩，并不会马上得到领导的赏识。

你的成绩，得累积一段时间，才会得到领导赏识。

从努力，到能力，到成绩，到赏识，它是有一个过程的，有一个积分的效应。

但是你会发现，生活中有很多人，在开始努力的第一天，就会抱怨说，我今天这么努力，领导为什么不赏识我？

他忘了，这其实还需要一个积分的效应。

反过来说，有些人可能一直以来工作都做得很好，但是从某个时候开始，因为一些原因，慢慢懈怠了。

他的努力程度下降了，但这个时候，他的能力并不会马上跟着下降。

可能过了三四个月，才会慢慢显示出来。他会发现做事情开始不能得心应手了。

然后又过了三四个月，他做出来的东西，领导开始越来越看不上了。

在这一瞬间，很多人会觉得，有什么大不了的，我不过就是这一件事没做好呗。

但他忘了，这其实是一个积分效应，这样的结果，其实早在七八个月前他不努力的时候，就埋下了种子。

努力的时候，都希望大家瞬间认可；而出了问题，却不去想几个月之前的懈怠。

这是很多人都容易走进的思维误区。

而如果你理解了微积分的思维方式，能够用动态的眼光来看问题，你就会慢慢体会到，努力需要很长时间才会得到认可，你就会拥有一个平衡的心态，就会避免犯这样的错误。

吴军老师经常讲一句话，叫做莫欺少年穷。

其实，从本质上来说，这也是微积分的思维方式。

少年虽穷，虽然他目前积累的还很少，但是，只要他的增速（用数学的语言来说，叫导速度）够快，经过五年十年，他的积累会非常高。

吴军老师给年轻人提建议说，不要在乎你的第一份薪水。

这其实这也是微积分的思维方式。

一开始拿多少钱不重要，重要的是增速（导数）。

微积分的思维方式，从本质上来说，就是用动态的眼光看问题。

一件事情的结果，并不是瞬间产生的，而是长期以来的积累效应。

出了问题，不要只看当时那个瞬间，你只有从宏观，一直追溯（求导）到微观，才能找到最根源的问题所在。

— 4 —

第三种数学思维，源自于几何学，叫做公理体系。

什么是公理体系？

比如，几何学有一门分科，叫做欧几里得几何，也被称为欧氏几何。

欧氏几何有5条最基本的公理：

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延长成一条直线。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

公理，是具有自明性并且被公认的命题。

在欧氏几何中，其他所有的定理（或者说命题），都是以这5条公理为出发点，利用纯逻辑推理的方法推导出来的。

从这5条公理出发，可以推导出无数条定理。

比如：

每一条线的角度都是180度。

三角形的内角和等于180度。

过直线外的一点，有且只有的一条直线和已知直线平行。

……

这构成了欧氏几何庞大的公理体系。

如果说公理体系是一棵大树，那么公理就是大树的树根。

而在几何学的另一门分科，罗巴切夫斯基几何中，它的公理体系又不一样了。

从罗巴切夫斯基几何的公理出发，可以推导出这样的定理：

三角形的内角和小于180度。

过直线外的一点，至少有两条直线和已知直线平行。

这跟欧氏几何是完全不同的。

（罗巴切夫斯基几何虽然看上去好像违反常识，但它其实解决的主要是曲面上的几何问题，跟欧氏几何并不冲突。）

因为公理不同，所以能推导出来的定理就不同，因此罗巴切夫斯基几何的公理体系，跟欧氏几何的公理体系，也完全不同。

在几何学中，一旦制定了不同的公理，就会得到完全不同的知识体系。

这就是公理体系的思维。

这种思维在我们的生活中非常重要。

比如，每家公司都有自己的愿景、使命、价值观，或者你也可以把它们称为公司基因或者文化。

因为愿景、使命、价值观不同，公司与公司之间的行为和决策，差异就会很大。

一家公司的愿景、使命、价值观，其实就相当于这家公司的公理。

公理直接决定了这家公司的各种行为往哪个方向发展。

所有的规章制度、工作流程、决策行为，都是在愿景、使命、价值观这些公理上，生长出来的定理。

它们构成了这家公司的公理体系。

而这个体系，一定是完全自洽的。

什么叫完全自洽？

就是一家公司一旦有了完备的公理，其实就不需要老板来做决定了。

因为公理能推导出所有的定理。

不管公司以后会怎么发展，会遇到什么情况，只要有公理存在，就会演绎出一套能够解决问题的新的法则（定理）。

而当你发现你的公司每天都需要老板来做决定，或者你的规章制度、工作流程、决策行为和你的愿景、使命、价值观不符。

通常是因为公理还不完备，或者你的推导过程出现了问题。

这个时候你就需要修修补补，将你公司的公理体系一步步搭建起来。

我曾跟小伙伴说：

我在公司只做三件事：设置责权利，捍卫价值观，和做一只安静的内容奶牛。

关于责权利法则，我们只有一条公理：创造最大价值的人，获得最大的收益。

所有的制度安排，都是我用我有限的智商，根据这条公理，推演出的定理。

任何制度安排（定理），如果违背了唯一的公理，那一定是我的智商不够用导致的。

我会为我的智商道歉，然后坚定地修改制度安排（定理）。

如果我拒不改正，或者对公理有动摇，请毅然决然地离开我。那个我，不值得你们跟随。

我们因为有相同的公理体系，而彼此成就。

公理没有对错，不需要被证明，公理是一种选择，是一种共识，是一种基准原则。

制定不同的公理，就会得到完全不同的公理体系，也就会得到完全不同的结果。

— 5 —

第四种数学思维，源自于代数，叫做数字的方向性。

我们学代数，最开始学的是自然数，包括0和正整数：0，1，2，3，4，5……

然后是整数，包括自然数和负整数：……-3，-2，-1，0，1，2，3……

然后是有理数，包括整数和分数。

在学习分数之前，数字在我们的认知中，是离散的，是一个一个的点。

而有了分数，数字就开始变得连续了。

这就像在生活中，一开始你看事情，看的是对和错，大和小。

而慢慢地，你认识到世界其实并没有这么简单，你看事情开始有了灰度。

有理数之后，我们又学了无理数。

无理数，就是无限不循环小数，比如π。

任何一个有理数，都可以由两个数相除而得来。

但是无理数是无限不循环的小数，你找不到任何规律。

这会让你认识到，在这个世界上，有些事情就是复杂到无法有规律的。

π就是π，根号就是根号，它就是很复杂，你不要试图用一个简单粗暴的方式来定义它。

你要承认它的客观存在，承认这个世界的复杂性。

你看，我们不断深入学习各种数，其实就是在一步一步地理解世界的复杂。

再往复杂里说，数这个东西，除了大小，其实还有一个非常重要的属性：方向。

在数学上，我们把有方向的数字叫做向量。

数字，其实是有方向的。这个认识对我们的生活有什么用呢？

我举个例子。

假如你今天拖着一个箱子往东走，你力气很大，有30N。

这时来了一个人，非要跟你对着干，把箱子往西拖，他力气没你大，只有20N。

结果如何呢？

这个箱子还是会跟着你往东走，只不过只剩下10N的力，它的速度会慢下来。

这就像在公司里做事，两个人都很有能力，如果他们合作的时候，能力都能往一个方向使，形成合力，这是最好的结果。

而如果，他们的能力不能往一个方向使，反而互相牵制，那可能还不如完全交给其中一个人来做。

还有一种情况，做同一件事情，有的人想往东走，有的人想往西走，有的人想往北走，而你并不知道哪个方向是正确的。

这时，你想要的，不是合力的大小，而是方向的相对正确性。

那你该怎么办呢？

你就让他们都去干这件事吧。

虽然大家的方向不同，会互相牵制，力的大小会有损耗。

但是最终事情的走向，会是那个相对正确的方向。

— 6 —

第五种数学思维，源自于博弈论，叫做全局最优和达成共赢。

什么是博弈论？

我们每天都要做很多很多大大小小的决策。

比如，我今天是喝咖啡，还是喝茶？

这就是一个决策。

但这个决策只跟我自己有关，并不会涉及到别人。

而在生活中，有一类决策，是需要涉及到别人的。

涉及到别人的决策逻辑，我们把它叫做博弈论。

比如，下围棋就是典型的博弈。

每走一步棋，我的所得就是你的所失，我的所失就是你的所得。

这是博弈论中典型的零和博弈。

在零和博弈中，你要一直明白，你要的是全局的最优解，而不是局部最优解。

什么意思？

下围棋的时候，不是在每一步上，你都要吃掉对方最多的子。

你要让终局所得最多，就要步步为营，讲究策略。

有时候让子是为了以退为进，始终记得，你是为了全局最优，而不是局部最优。

很多时候办公司也是一样，不要总想着每一件事情都必须一帆风顺，如果你想得到最好的结果，可能在一些关键步数上就要做些妥协。

除了零和博弈，还有一种博弈，叫做非零和博弈。

非零和博弈讲究共赢。

共赢的前提，是建立信任。

但建立信任，其实特别不容易。

假如市场上现在需要100万台冰箱。

一个厂家发现了这个需求，决定马上生产100万台。

另一个厂家发现了这个需求，也决定马上生产100万台。

第三个厂家也同样，决定马上生产100万台。

……

结果，每一个厂家都生产了100万台，供大于求，大部分厂家都会遭受很大的损失。

那如果这时候，大家能够建立起信任，说好10个厂家，每个人都只生产10万台，这样正好能够满足需求，每个厂家都能够赚到钱，大家就能达成共赢。

但是，只要有一个厂家没有遵守约定，别人都生产10万台，但是他生产30万台，这个时候，就多出来了20万台，大家就会因此遭受损失。

建立信任，特别不容易，但是这件事情在商业世界里非常重要。

那怎么才能建立信任呢？

我给你两个建议。

第一个建议是，你要找到那些能够建立信任的伙伴。

有些人，是永远都无法和他达成共赢的，这样的人你就要远离。

第二个建议是，你要主动释放信任。

你要先让别人知道你是值得信任的人，这样想要与你达成共赢的人，就会来找到你。

最后的话

这篇文章很长，但是我希望你一定要把它看完。

不但要看完，还要看很多遍，真正把它看懂，把这些数学思维用在你的生活中。

我也希望能通过这篇文章，向你传达一个观念：数学不难，真的不难。

你不一定要会解大部分数学题，你不一定要背下来所有公式，你不一定要数学考试拿满分，但是你至少要训练自己的数学思维。

训练数学思维，是为了让自己拥有符合规律的思维方式。

孔子说：三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲不逾矩。

所谓的从心所欲不逾矩，不是说我要约束自己，让自己想做的事情不越出边界。

而是我因为拥有符合规律的思维方式，所以我做的事情根本就不会越出边界。

这，就是从心所欲的自由。